【物理の攻略本】第１編　第１章－１：平面運動の速度・加速度

2021年2月27日

こんにちは！

dearPU（でぃあぷ）先生です。

今回から学校の教科書をより分かりやすく，さらに問題が解けるようになるための情報に特化して解説していくシリーズ【物理の攻略本】を執筆していきます。

物理が得意で伸ばしたい人，苦手で克服したい人それぞれに役立つ内容となっていますので是非参考にして物理を好きになってくださいね。

教科書の演習問題の解説のみ見たいという方は目次から飛んでください。

第一回は力学の基本となる平面内の運動より「平面運動の速度・加速度」です。

覚えるべき公式・用語

ベクトルの概念

大きさと向きを持った量を「ベクトル」という。

ベクトルは文字の上に右矢印を書いて以下のように表す。

$$\overrightarrow{a}$$

ベクトルの例

位置ベクトル

位置を表すベクトルを「位置ベクトル」という。

物体の位置は位置ベクトルのx成分，y成分を用いて（$x, y$）と表すことができる。

変位

点Oを基準とした点P，点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}$とすると，変位$\it{\Delta}\overrightarrow{r}$は次のように表される。

$$\Delta\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}$$

ベクトルの演算が不安な方は数学Bのベクトルの範囲を押さえましょう！

平均の速度

時間$\it{\Delta}t$[s]の間に物体が移動したときの変位を$\it{\Delta}\overrightarrow{r}$[m]とすると，平均の速度$\overrightarrow{\bar{v}}$[m/s]は以下のように表される。

$$\overrightarrow{\bar{v}}=\frac{\Delta\overrightarrow{r}}{\Delta t}$$

瞬間の速度

上式で$\it{\Delta}t$の値を限りなく小さくしていった時の極限が「瞬間の速度」となる。

速度の合成

船が川を斜めに進むとき，静水時の船の速度を$\overrightarrow{v_1}$[m/s]，流水の速度を$\overrightarrow{v_2}$[m/s]とすると川岸で静止している人から見た船の速度$\overrightarrow{v}$[m/s]は各速度のベクトル和で表される。

$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$$

速度$\overrightarrow{v}$を速度$\overrightarrow{v_1}$と速度$\overrightarrow{v_2}$の合成速度という。

＋α

速度の分解

上式（速度の合成）は１つの速度$\overrightarrow{v}$を２つの速度$\overrightarrow{v_1}$，$\overrightarrow{v_2}$に分解できると考えてもよい。この操作を速度の分解といい，分解した２つの速度を分速度という。

速度の成分

速度は垂直な２方向（$x$軸方向と$y$軸方向）に分解すると便利なことが多い。

このとき，分速度$\overrightarrow{v_x}$，$\overrightarrow{v_y}$の大きさに向きを表す正負の符号をつけた値$v_x, v_y$を速度$\overrightarrow{v}$の$x$成分，$y$成分という。

速度$\overrightarrow{v}$（大きさ$v$）が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$，$\overrightarrow{v}$の$x$成分，$y$成分をそれぞれ$v_x, v_y$とするとき，これらの間には次の関係が成りたつ。

$$v_x=v\cos\theta, v_y=v\sin\theta$$

$$v=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}$$

三角関数が不安な方は数学Ⅱの三角関数の範囲を押さえましょう！

三角関数を押さえれば，上の式（$v_x=v\cos\theta, v_y=v\sin\theta$）から下の式（$v=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}$）を導けるようになります。

相対速度

物体A（観測者）の速度を$\overrightarrow{v_\rm{A}}$[m/s]，物体B（相手）の速度を$\overrightarrow{v_\rm{B}}$[m/s]とすると，Aに対するBの相対速度$\overrightarrow{v_\rm{AB}}$[m/s]は以下のように表される。

$$\overrightarrow{v_\rm{AB}}=\overrightarrow{\it{v}_\rm{B}}-\overrightarrow{\it{v}_\rm{A}}$$

Aから見た～を求めるときにはAの状態を差し引かないといけないことに注意。

例えば，Aが東に向かって時速40kmで動いているなら，Aから見たその他の物はすべて西に向かって時速40kmで動いていることになる。その状態を表すために観測対象となる速度からAの速度を差し引くのである。

加速度

単位時間当たりの速度の変化を「加速度」という。単位はメートル毎秒毎秒（m/s$^2$）が用いられる。

物体が時刻$t_1$[s]に点Pを速度$\overrightarrow{v_1}$[m/s]で通過し，時刻$t_2$[s]に点Qを速度$\overrightarrow{v_2}$[m/s]で通過したとする。点Pから点Qまでの経過時間を$\Delta t(=t_2-t_1)$，速度の変化を$\Delta \overrightarrow{v}(=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1})$とするとき，点Pから点Qまでの間の平均の加速度を$\overrightarrow{\bar{a}}$[m/s$^2$]とすると，$\overrightarrow{\bar{a}}$は次の式で表される。

$$\overrightarrow{\bar{a}}=\frac{\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}}{t_2-t_1}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$$

この式で$\Delta t$を限りなく小さくしていき極限をとると，点Pでの瞬間の加速度が得られる。